Month: Февраль 2024
Պարզ թվերով թվաբանական պրոգրեսիաներ
Պարզ թվերով թվաբանական պրոգրեսիաներ
Գրենք 100-ից փոքր պարզ թվերը 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97։
1․ Կազմենք պարզ թվերի բոլոր եռյակները, որոնք սկսվում են 3 թվով և միջին թիվը հավասար է մյուս երկուսի միջին թվաբանականին՝ կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։
Այդ եռյակներն են` (3,5,7); (3,7,11);(3,11,17);(3,13,23);(3,17,31);(3,23,43);(3,31,59);(3,37,61);(3,41,79);(3,43,83);(3,47,91)։
2․ Կարո՞ղ է լինել պարզ թվերի եռյակ, որ առաջին թիվը 2 է և միջին թիվը հավասար է մյուս երկուսի միջին թվաբանականին։
Այդպիսի եռյակ գոյություն չունի,քանի որ այդ դեպքում երրորդ անդամը նույնպես կլինի զույգ թիվ։Օրինակ` 2,2+d,2+2d,որտեղ d-ն թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունն է։
3․ Բերված ցուցակից կազմենք եռյակներ, որ միջին թիվը լինի մյուս երկուսի միջին թվաբանկանին հավասար՝ կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։
(3,5,7);(17,23,29);(31,37,43);…
Վարկած
Գոյություն ունի, պարզ թվերից կազմված անվերջ թվով եռյակներ,որոնք կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։
4․ Գտեք պարզ թվերի եռյակ, որ միջին թիվը հավասար լինի մյուս երկուսի միջին թվաբանականին և թվերը իրարից տարբերվեն 2-ով։
Ձևակերպենք պնդում։
Գոյություն ունի երեք տարբեր պարզ թերից կազմված միայն մեկ թվաբանական պրոգրեսիա, որի տարբերությունը 2 է՝ 3, 5, 7։
Ապացուցենք այդպիսի եռյակի միակությունը։Պարզ է որ այդ թվերը կենտ թվեր են(քանի որ դրանց տարբերությունը երկուս է)։Նշանակենք a,b,c։Մնում է ցույց տալ,որ իրար հաջորդող կենտ թվերից մեկը բաժանվում է երեքի։Ենթադրենք a թիվը չի բաժանվում 3 -ի։Այս դեպքում մնացորդում կունենանք մեկ կամ երկու։
Առաջին դեպք։
a=3n+1,հետևաբար b=3n+3,որը բաժանվում է 3-ի։
Երկրորդ դեպք։
a=3n+2,հետևաբար b=3n+4,c=3n+6։Այստեղ c թիվը բաժանվում է 3-ի։
5․ Գտեք պարզ թվերի եռյակ, որ միջին թիվը հավասար լինի մյուս երկուսի միջին թվաբանականին և թվերը իրարից տարբերվեն 4-ով։
Ձևակերպենք պնդում։
Գոյություն ունի երեք տարբեր պարզ թերից կազմված միայն մեկ թվաբանական պրոգրեսիա, որի տարբերությունը 4 է՝ 3,7,11։
Ապացուցենք միակությունը։Վերցնենք a,b,c թվեր այնպես որ a-ն լինի պարզ թիվ։Ապացուցենք որ b կամ c թվերից որևէ մեկը բաժանվում է երեքի։
a թիվը երեքի բաժանելիս հնարավոր է ստանալ մեկ կամ երկու մնացորդ։
Առաջին դեպք`a=3n+1
b=a+4=3n+5,
c=b+4=3n+9 = 3(n+3),վերջինիս բաժանվում է երեքի։
Երկրորդ դեպեք` a=3n+2 => b=3n+6,որը բաժանվում է երեքի։
Այսպիսով վերը նշված պայմանին բավարարող ինչպիսի եռյակ էլ վերցնենք,ապա դրանցից մեկը կլինի երեքի բաժանվող թիվ։Հետևաբար 3,7,11 եռյակը միակն է,որը կազմում է 4 տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիա։
6․ Կազմեք տարբեր պարզ թվերից կազմված եռյակներ, որ միջին թիվը հավասար լինի մյուս երկուսի միջին թվաբանականին և թվերը իրարից տարբերվեն 6-ով։
Օրինակ՝ (5, 11, 17); (11, 17, 23); (17, 23, 29);(31,37,43)…
Վարկած
Գոյություն ունեն երեք տարբեր պարզ թվերով կազմված և 6 տարբերություն ունեցող անվերջ թվով թվաբանական պրոգրեսիաներ։
7․ Կազմեք տարբեր պարզ թվերից կազմված հնգյակ, որտեղ ամեն թիվ հաջորդից տարբերվում է 6-ով։
Ձևակերպենք պնդում
Գոյություն ունի d=6 տարբերություն ունեցող հինգ տարբեր պարզ թվերից կազմված միակ թվաբանական պրոգրսիա՝ 5, 11, 17, 23, 29։
Ապացուցենք պնդման միակությունը։
Վերցնենք a պարզ թիվ և b,c,d,e թվեր։ Ապացուցենք,որ դրանցից մեկը բաժանվում է 5-ի։
a պարզ թիվը հինգի բաժանելիս հնարավոր է մնացորդում ստանալ 0,1,2,3,4 թվերից մեկը։
Զերո մնացորդի դեպքում ստանում ենք` 5,11,17,23,29 հաջորդականությունը։
Մեկ մնացորդի դեպքում` a=5n+1=> e=a+4d=5n+1+24=5n+25,որը բաժանվում է 5-ի։
Երկու մնացորդի դեպքում` a=5n+2 => d=a+3d=5n+2+18=5n+20։Այս դեպքում d թիվն է բաժանվում հինգի։
Երեք մնացորդի դեպքում` a=5n+3 => c=a+2d=5n+3+12=5n+15,որը բաժանվում է 5-ի։
Չորս մնացորդի դեպքում` a=5n+4 => b = a+d=5n+4+6=5n+10,որը բաժանվում է 5-ի։
Այսպիսով ինչպիսի a,b,c,d,e թվեր էլ վերցնենք վերը նշված պայմանին բավարարող,ապա դրանցից մեկը կբաժանվի հինգի և այդ թվերը բոլորը կլինեն պարզ թվեր միայն մի դեպքում` 5,11,17,23,29։
Մենուա Հարությունյանի մաթեմատիկական բլոգ 