Հեղինակային մանկավարժական ծրագրով ատեստավորման առաջադրանքները

Posted on Updated on

Հեղինակային մանկավարժական ծրագրով աշխատող դասավանդողի առաջադրանքը՝ ատեստավորվելու համար

  • Սեփական ստեղծած ուսումնական նյութերի հղումները

Ուսումնական փաթեթներ 6-րդ դասարան

Ուսումնական փաթեթներ հանրահաշիվ 7-րդ դասարան

Ուսումնական փաթեթներ երկրաչափություն 7-րդ դասարան

  • Գրել հոդված «Դպիրի» համար՝ «Մաթեմատիկայի դասավանդման իմ փորձից» կամ մոտ վերնագրով
«Մաթեմատիկան կրտսեր և միջին դպրոցներում»
 
Մաթեմատիկայի դասավանդումը կրտսեր դպրոցում  ավելի հարմար է իրականացնել  խաղերի, տրամաբանական, հաշվողական, մաթեմատիկական և ալգորիթմական մտածողության ընդունակությունները բարձրացնող վարժությունների և խնդիրների միջոցով:
Տրամաբանական ընդունակությունները զարգացնելու համար կարելի է սովորողներին տալ խաբուսիկ խնդիրներօրինաչափություններ, հաշվողական խնդիրներ, ռեբուսներ և ոչ ստանդարտ խնդիրներ։ Դասապրոցեսը կարելի է կազմակերպել ինչպես հիմնական, այնպես էլ ընտրության խմբի հետ։ Տրամաբանության զարգացման համար կարելի է օգտվել խնդրագրքերից, ինչպիսիք են՝ «Տրամաբանական խաղեր» (հեղինակ՝ Ն. Խրիմյան), «Մաթեմատիկա կրտսեր դպրոցների համար» (հեղինակ՝ Հակոբյան)։
Հաշվողական ընդունակություններ զարգացնելու համար կարելի է ստեղծել այսպիսի խաղեր:
  Օրինակ ՝ բազմապատկման աղյուսակը կամ թվի բազմապատիկ և բաժանարարը կարելի է սովորել կազմակերպելով այսպիսի մի խաղ:
Սկզբում դասավանդողը  ասում է իր նպատակադրված թիվը, որի պատիկները ուզում է սովորեցնել, իսկ հաջորդ թվերը (պատիկները) ասում են սովորողները՝ հատուկ նշված հերթահանությամբ։ Խաղը մի քանի անգամ կարելի է կրկնել տարբեր հերթականությամբ։ 
   Խաղ կարելի է կազմակերպել թվի բաժանարարներ սովորելու ժամանակ: Այսպես՝  յուրաքանչյուր հաջորդ սովորող ասում է թվի բաժանարարը՝ ըստ աճման կարգի, իսկ ով սխալվում է, դուրս է մնում պայքարից։ Կրտսեր դպրոցում ավելի կարևորնեից է սովորեցնել և ամուր հիմքերի վրա դնել չափման միավորների գաղափարը, որը կարելի է անել գործնական եղանակներովՕրինակ՝ դրսում, տանը, դպրոցում չափումներ կատարելով։ Ինչպես նաև հարթությունը զգալու հատկություններ ձևավորել՝ երկրաչափական պատկերներ գծելու և պատրաստելու միջոցով։
Ալգորիթմական մտածողությունը զարգացնելը  առաջին հայացքից բարդ է թվում, բայց սովորողների կողմից հաճելի աշխատանք կարող է դառնալ։ Օրինակ՝ ինչպե՞ս գտնել երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։ Այս հարցը կարելի է լուծել մեզ հայտնի  պարզ արտադրիչների վերլուծելու եղանակով՝ վերցնելով այն թվերի արտադրյալը, որը երկու թվերի մեջ  կա։ Այս եղանակը  ինչ-որ եղանակ է, որ կարող է սովորեցնել բաժանարար հաշվելու ալգորիթմ, որը  մի քիչ երկար է մեծ թվերի համար։ Կարելի է սովորողների մի խմբի առաջարկել ինքնուրույն մտածել երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար հաշվելու ալգորիթմ, որից հետո առաջարկել այս մեկը։ Առաջին քայլում ստուգում ենք՝ արդյո՞ք մեծ թիվը բաժանվում է փոքր թվին (կարող է բախտներս բերի), հակառակ դեպքում մեծից հանում ենք փոքրը, մի քանի անգամ, քանի դեռ արդյունքը դրական թիվ է։ Երրորդ քայլում ստուգում ենք արդյոք ստացված թիվը բաժանվում է տրված թվերին, թե՝ ոչ։ Եթե բաժանվում է, ուրեմն այդ թիվն է, հակառակ դեպքում շարունակում ենք նույն դատողությամբ։ Օրինակ՝ գտնել 32-ի և 14-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը
1-քայլ 32-ը առանց մնացորդ չի բաժանվում 14-ի։
2-քայլ 32-14-14=4
3-քայլ 14-4-4-4=2
4-քայլ 32-ը և 14-ը բաժանվում են 2-ի, որը և ամենամեծ բաժանարարն է։
Ալգորիթմական մտածողություն զարգացնելուց հետո շատ ավելի հեշտ կլինի և այս ամենը ավտոմատացնելը  սովորողների  կողմից կդառնա խաղ: Օրինակ՝ ցանկացած երկու բնական թվերի համար հաշվել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը  ‹‹Scratch›› ծրագրով։
Կարելի է ոչ ստանդարտ ալգորիթմ առաջարկել՝ երկու բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը որոշելու համար։ Սկզբում ստուգում ենք՝ արդյո՞ք մեծ թիվը բաժանվում է փոքր թվին։ Բացասական պատասխանից հետո յուրաքանչյուր հաջորդ քայլում մեծ թիվը  գումարում ենք ինքն իրեն և կրկնում սկղբնական քայլը այնքան, մինչև փոքր թիվը առանց մնացորդի բաժանվի, հենց այդ թիվն էլ կլինի երկու բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։ Այս պրոցեսը նույնպես շատ հեշտ է իրականացնել  ‹‹Scratch›› ծրագրի միջոցով։
Նմանատիպ ալգորիթմներ մտածելը և խնդրի լուծումը ծրագրով ստանալը կարող է ուսումնական աշխատանք դառնալ սովորողների և մաթեմատիկայի դասավանդողների համար։
Միջին և ավագ դպրոցներում իրավիճակը փոխվում է, երբ սկսում ենք ուսումնասիրել երկրաչափություն և հանրահաշիվ։ Երկաչափությունը ուսումնասիրելու ժամանակ կարևոր է երկրաչափական պատկերների սահմանումները, հայտանիշները և հատկությունները ճիշտ իմացումն ու խնդրի մեջ կիրառելու կարողությունը։
 Երկրաչափական խնդիրների գծագրերը կարելի է տալ  ‹‹GeoGebra›› ծրագրի միջոցով, իսկ լուծումը ամբողջությամբ հիմնավորել հայտանիշների կամ հատկությունների (թեորեմների) հիման վրա։
Հանրահաշվի տարրերը անցնելու ժամանակ սովորողների մի խմբի հետ (ովքեր տիրապետում են ծրագրավորման լեզվի հմտություններին)  կարելի է զբաղվել խնդրի լուծման ձևակերպման և ավտոմատացման խնդիրներով,որը ալգորիթմական մտածողության զարգացման և խնդրի լուծման տեսանելի արդյունք կարող է հանդիսանալ։  Օրինակ՝ ֆունկցիաներ ուսումնասիրելու ժամանակ կարելի է ավտոմատացման շնորհիվ պարզել ֆունկցիայի հատկությունները, գծել գրաֆիկը, լուծել գծային հավասարումներ և անհավասրումներ, փորձել ծրագրավորման խմբի հետ ավտոմատացնել նաև քառակուսի հավասրման, որոշակի հավասարումների և անհավասարումների համակարգերի լուծումները։
Միջին դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդումը պետք է ուղեկցվի նաև տարբեր բնույթի տեքստային խնդիրներով։ Լավ փորձ է առարկայական ֆլեշմոբերի կազմակերպումը և անցկացումը տեստային, տրամաբանական և ոչ ստանդարտ խնդիրների հիման վրա։ Կրտսեր դպրոցների համար մաթեմատիկական ֆլեշմոբի խնդիրները կարելի է կազմել միջին դպրոցի սովորողների մասնակցությամբ և խրախուսել  մասնակցությունը։ Իսկ միջին դպրոցի համար կազմել ավագ տարիքի սովորողների մասնակցությամբ՝ նույնպես խրախուսելով սովորողին։ Խրախուսանքը կարող է լինել ամսվա լավագույն խնդիր անվանակարգում, որը կարելի է հաշվել լրացված հավանումներով (այսինքն՝ ավելացնելով լրացուցիչ դաշտ նախնական ֆլեշմոբի ձևում)։
  • Թարգմանել ստորև բերված տեքստը

 

ГЛАВА 5

Սիմվոլներ

Դժվար է ազատվել այն գաղափարից, որ մաթեմատիկական բանաձևերը ունեն անկախ կյանք, որ նրանք խելացի են մեզանից  և խելացի  նրանցից՝ ովքեր հայտնաբերել են, որ ավելի շատ են տալիս, քան նախկինում տվել են:

Հիլբերտ Հերց

Հանրահաշիվը, որն այսօր օգտագործվում է, լայն իմաստով  գործողությունների գիտություն է սիմվոլների գրությամբ: Իր ուժի շնորհիվ այն ոչ միայն օգտագործվում է  մաթեմատիկայում , այլև  ֆորմալ տրամաբանության և նույնիսկ մետաֆիզիկայի մեջ: Բացի այդ, եթե մենք նայենք հանրահաշվին այս տեսանկյունից, պարզվում է, որ այս գիտությունը այնքան հին է, որքան անձը կարող է գործել ընդհանուր դատողություններով՝  ինչպես  հայտնաբերել ցանկացածը և որոշակին։

Այստեղ մեզ հետաքրքրում է  հանրահաշիվը շատ նեղ իմաստով` ընդհանուր հանրահաշվի այն մասը, որը  կոչվում է հավասարումների տեսություն: Այս գիտության ձևավորման հենց սկզբում իմաստը դրվեց բառի  մեջ:Բառը ինքնին արաբական ծագում ունի: « Al» -ը արաբական որոշյալ հոդ է (որպես «the»-ն անգլերենում), «gebar» — ը տեղադրել, վերականգնել: Մինչ օրս Իսպանիայում «Algebrista» բառը վերաբերում է  մանրածախին առևտրին ( chiropractors):

Հանրահաշիվ  բառը  երևում է  Մուհամմադ բեն Մուսա ալ-Խորեզմի գրքում։ Ալ-Խորեզմին, ով  ներդրում է ունեցել   գրառման մեթոդում: Լրիվ անվանումը այս գրքի ««Algebar wal Muquabalah»: Բառի վերականգնումը Բեն Մուսան կոչել է այն  ինչ մենք այսօր անվանում ենք փոխարինում ,այսինքն հավասարման մեկը մյուսին փոխարինումը, օրինակի համար 3x + 7 = 25 է 3x = 25- 7.

Պարզ հանրահաշվական նշանները կարելի է գտնել շումերական կավե առարկաների վրա: Հնագույն եգիպտական ​​պապիրուսները մեզ ասում են, որ Եգիպտոսում այս գիտությունը, հավանաբար,  եղել է բավական բարձր աստիճանի զարգացած: Փաստորեն, Ռինդի պապիրուսը, որը ոչ ուշ քան մ.թ.ա. XVIII դարում, զբաղվում է սննդի եւ այլ նյութերի բաշխման խնդիրներով՝ խնդիրներ, որոնք հանգեցնում են պարզ հավասարումների: Անհայտը այս հավասարման մեջ նշում է ինչպես hau- «քանակը»։ Սակայն, դատելով տեքստում շատ կոպիտ սխալների առկայությանը, դժվար էր հասկանալ թե ինչ է գրված: Հետեւաբար, կարելի է ենթադրել, որ հին եգիպտացիների գիտելիքների մակարդակը բարձր է, քան այն կարող է թվալ այդ պապիրուսի հիման վրա: Եթե դա այդպես է, ուրեմն կասկած չկա, որ Եգիպտոսում գրելը մի քանի դար առաջ էր, քան այս պապիրուսը:

Որպես կանոն, յուրաքանչյուր առանձին երկրում հանրահաշիվը  անցել է գրաքննության  երեք փուլ `հռետորական, հաժամանակյա եւ խորհրդանշական: Առաջին փուլը բնութագրվում է ցանկացած խորհրդանիշների բացակայությամբ, բացառությամբ, որ բառերն օգտագործվում են իրենց խորհրդանշական իմաստով: Այսօր հռետորական հանրահաշիվը օգտագործվում է, օրինակ, հետեւյալ ձեւակերպմամբ. «Գումարելիների տեղերը փխելիս գումարը չի փոխվում», որը տառային արտահայտությամբ կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ a + b = b + a:

Սիմվալացումը, որը բնորոշ օրինակ է եգիպտական հանրահաշիվին, հռետորական հանրահաշվի հետագա զարգացումն է: Այնտեղ որոշակի բառեր, որոնք հաճախ օգտագործվում են, արդեն սկսում են նեղանալ: Ի վերջո, այդ կրճատումները հասնում են մի փուլ, որտեղ նրանց ծագումը արդեն մոռացվում է, այնպես որ չի լինում սիմվոլի և առարկայի միջեւ եղած ակնհայտ կապը: Բառը կրճատվում է և դառնում սիմվոլ:

Օրինակ ուսումնասիրենք «+» եւ «-» սիմվոլների պատմությունը: Միջնադարյան Եվրոպայում «-» սիմվոլը երկար ժամանակ էր արտահայտված minus  բառով, այնուհետև միայն առաջին տառով վերևից գծիկ: Ի վերջո տառը նույնպես կրճատվեց և մնաց միայն գիծը: Նմանատիպ վերափոխումները տեղի են ունեցել plus բառի հետ :

Հունական Դիոֆանտյան հանրահաշիվը հիմնականում հռետորական էր: Կան բազմաթիվ բացատրություններ այն բանի , որ հույները հեռացել են սիմվոլների ստեղծման մեջ: Մեկը ժամանակակից տեսություններից բացահայտում է, որ  հունական այբուբենի տառերը , որոնք օգտագործելով նույն տառային իմաստներով՝ փոփոխականներում , ակնհայտորեն կարող էին հանգեցնել շփոթության։Սա վկայում է այն ​​փաստը, որ Դիոֆանտը օգտվեց այն հանգամանքից, որ հունական  ζ (սիգմա) հնչյունը ուներ երկու գրելաձև՝ σ և ζ: Առաջին սիմվոլը նշում է  60 թիվը, իսկ երկրորդը  չուներ թվային արժեք, ուստի Դիոֆանտը ընտրեց այն  նշելու համար անհայտ փոփոխականը:

Պետք է նշել, որ սիմվոլը, որը Դիոֆանտը օգտագործում էր մատնանշելու անհայտը, ավելի շատ նման է arithmos- «թիվը» բառի կրճատ ուղղագրությանը։ Այլ խոսքերով նա նշում էր այդ անհայտը: Բացի այդ, տեսությունը կարծես թե հաշվի չի առնում այն ​​հանգամանքը, որ թվերը համարվում են միայն հունական այբուբենի տառերը: Այսպիսով, հույները նաև մեծատառեր ունեին, որոնք նրանք կարող էին օգտագործել և իսկապես օգտագործում էին որպես սիմվոլ:

Սակայն այդ սիմվոլները երբեք չեն օգտագործվել որպես գործողություն, այլ միայն օգտագործվել են որպես  երկրաչափական պատկերներում տարբեր կետեր կամ տարրեր նշելու համար: Նույն նկարագրական սիմվոլները մենք այսօր կիրառում ենք նշանակելով մի շարք երկրաչափական պատկերների կետերը, և մենք պետք է հիշենք, որ այդ սովորությունը ժառանգել  ենք հույներից:

Հույների մտածողությունը սկզբունքորեն հանրահաշվական չէր,դա շատ կոնկրետ էր: Վերացական հանրահաշվական գործողությունները առարկաների միջև, միտումնավոր հեռանում էին իրենց ֆիզիկական բովանդակությունից՝  չի կարող մտքում գալ  նրանց, ովքեր այնքան ակտիվ հետաքրքրվում են իրենց առարկաներով: Սիմվոլը պարզապես ձևականություն չէ, այն պարունակում է հանրահաշվի էությունը: Առանց սիմվոլի ցանկացած օբյեկտ  մարդկային զգացողություն է և արտացոլում է բոլոր փուլերը, որի միջոցով մարդ ընկալում է օբյեկտը: Սիմվոլով փոխարինվող օբյեկտը բացարձակ աբստրակցիա է, որի վրա որոշակի գործողություններ են կատարվում:

Հին  հույների մտածողությունը միայն սկիզբն է  այս պատնեշի հաղթահարմանը, մասնավորապես, երբ մի ժամանակաշրջանի անկման: Այդ օրերին  հելլենական մշակույթը կարելի է վերագրել երկու մարդու: Երկուսն էլ ապրել են երրորդ դարում,  եկել են Ալեքսանդրիայից և սերմանում են նոր տեսության սերմերը, որոնք այնքան առաջ էին , որ չէին կարող հասկանալ իրենց ժամանակակիցները։Պապպա- ի «Պորպիզմաները» ակնկալում էին պրոյեկտիվ երկրաչափություն, իսկ Դիոֆանտյան տեսությունը ճանապարհ է  հարթել ժամանակակից հավասարումների տեսության մեջ ։

Դիոֆանտը առաջին հույն մաթեմատիկոսն էր, որը բացահայտ խոստովանեց, որ ֆրակցիաներն նույնպես թվեր են: Նա նաև առաջին մաթեմատիկոսն էր, որը համակարգեց ոչ միայն պարզ հավասարումների լուծումը, այլև քառակուսային և ավելի բարձր կարգի հավասարումները: Չնայած նրան, որ նա օգտագործում էր անարդյունավետ սիմվոլներ և անուղղակի մեթոդներ, կարելի է ենթադրել, որ նա պայմաններ է ստեղծել  ժամանակակից հանրահաշվի զարգացման համար։

Բայց Դիոֆանտը այրվող լույսի վերջին փայլն էր: Արևմտյան աշխարհում ընկավ միջին դարերի երկար գիշերը: Հելլենիստական ​​մշակույթի սերմերը վիճակված էին բողբոջել օտար հողում:Հնարավոր է,որ հնդիկները ընդունել են հունական գիտության որոշ փաստեր, բայց նրանք չեն ընդունել հույների բնորոշ  քննադատական ​​մոտեցումը: Նրանք օգտագործում էին թվեր ու հարաբերակցությաններ, զրոյական եւ անվերջության, ինչպես նաև այլ բառեր․ օրինակ sanуа բառը, որը նշանակում է դատարկություն,և ի վերջո առընչվում է  զրոյի հետ, ինչպես նաև օգտագործվում  անհայտին անդրադառնայու համար:

Հնդկացիները  ավելին են արել հանրահաշվի համար, քան հույները: Նրանց համաժամանակյա հանրահաշիվը, ըստ էության, շատ բնութագրիչ էր: Սիմվոլները  պարզապես օբյեկտների կամ գործողություններիը նշող բառերի առաջին վանկերն էին: Նրանք ունեին սիմվոլներ ոչ միայն հիմնական գործողությունների և հավասարության, այլ նաև բացասական թվերի համար: Ավելին, նրանք մշակել են սովորական եւ քառակուսային հավասարումների ձևափոխման  կանոններ:

Նպատակը, որոնք նրանք լուծում էին, բավականին պարզ ու բավականին բնորոշ էին այս մակարդակի հանրահաշվի համար: Ստորև բերված են «Լիլավատիից» երկու մեջբերում գրված 8-րդ դարում , աստվածաբանության հիմնախնդիրների վերաբերյալ գրքույկից.

«Լոտոսի ծաղիկների կույտից մեկ երրորդը, մեկ հինգերորդը և մեկ վեցերորդ մասը զոհաբերեցին  համապատասխանաբար Շիվա, Վիշնու եւ Արևի աստվածներին: Մեկ չորրորդը ներկայացվեց Բհավանիին: Մնացած վեց ծաղիկներ տրվեցին հարգված ուսուցչին: Արագ ինձ պատասխանել, քանի ծաղիկ կար այնտեղ … »:

«Սիրո խաղի ընթացքում վզնոցը պոկվեց: Մարգարիտների մեկ երրորդը ընկավ գետնին, հինգերորդը մնաց անկողնում, մարգարիտների վեցերորդը մասըհայտնաբերվել է աղջկա, իսկ մեկ տասներորդը՝ իր սիրելիի կողմից: Վզնոցի վրա մնացել է վեց մարգարիտ: Ասացեք, որքան մարգարիտ է ունեցել վզնոցը »:

Հնդկացի մաթեմատիկոսները շատ թույլ ազդեցություն ունեցան  Եվրոպայում: Սակայն կասկած չկա, որ արաբները ընդունեցին թվաբանությունը և հանրահաշվը  բանիմաց բահամյաններից, որոնց խալիֆները այնքան ազատ էին ընդունում 9-րդ եւ 10-րդ դարերում: Այդ ժամանակ մահմեդական քաղաքակրթությունը երկու մշակույթների խառնուրդ էր `արևելյան եւ հելլենական: Հնդկերենից և հունարենից վերցված գիտական ​​և փիլիսոփայական  մեծ թվով դասական  ստեղծագործություններ արաբերեն էին թարգմանվել և արաբերեն էին սովորել գիտնականները: Այս թարգմանություններից շատերը պահպանվել են մինչև մեր  օրերը  և իրենցից ներկայացնում են պատմական տեղեկատվության եզակի աղբյուր: Այս առումով, պետք է հիշել, որ հելլենական հնագույն գրքի ամենահարուստ գրադարանը ` Ալեքսանդրյան, երկու անգամ թալանվել կամ ոչնչացվել է: Առաջին անգամ քրիստոնեական չարագործները չորրորդ դարում, հետո  մահմեդականները 7-րդ դարում: Նման ոչնչացման արդյունքում հին ձեռագրերի մեծ թվաքանակն անհետացվում  էր և ամբողջությամբ վոչընճացվում սերունդների համար, եթե դա արաբերեն թարգմանությունների համար չէր:

Կարճ ասած Արաբական քաղաքակրթությանը  պատմականորեն վիճակված էր պահպանել հունական մշակույթը անցումային : Նա գերազանց կերպով դուրս եկավ խնդրից: Ավելին, նա իր գանձերը հարստացրեց փայլուն ներդրման համար:Պետք է նշել, որ այն ժամանակ ցանկացած քաաղաքակիրթ անձի մոտ, շատ  մեծ մաթեմատիկոսների մեջ  հայտնի էր   Օմար Խայամը՝ քառյակների հեղինակը աստղերի մասին: Թեև քառյակը գրված է պարսկական լեզվով, Օմար Խայամը նաև գրել է արաբերեն՝  «Հանրահաշվը », որտեղ լիարժեք օգտվել է հունական երկրաչափություն  իր գիտելիքներից և հնդկական հանրահաշվում երրորդ եւ չորրորդ աստիճաի հավասարումների լուծումներից: Նա կարող է համարվել նաև հավասարումների լուծումների գրաֆիկական մեթոդների ստեղծողը: Ավելին, հիմքեր կան հավատալու, որ նա կանխատեսել էր հայտնաբերել Նյուտոնի երկանդամի բանաձը։

Չնայած այս ամենին արաբները իրենց չեն վերագրում սիմվոլային գրելաձևը: Առավել արտառոց պարադոքսը, մաթեմատիկայի պատմության մեջ, այն է որ արաբները ընդունել են հնդկական հանրահաշվիը, բայց չեն ընդունել  նրանց անսովոր ու էլեգանտ սիմվոլային գրելաձևը: Ընդհակառակը, նրանք վերադարձել են հույների հռետորական հանրահաշվին և նույնիսկ մի որոշ ժամանակ հեռացրել  թվերի սիմվոլային գրելաձևը իրենց աշխատություններից։Հնարավո՞ր է,այն դեպքում,երբ արաբները իրենց համարել են հույների իրավահաջորդները,մերժեն այդ գիտելիքները։

Մինչ մահմեդական մշակույթը մոտենում էր իր ամենաբարձր բարձունքին, Եվրոպան խորը քնի մեջ էր:Հրաշալի պատկերը  մութ դարի և դրան հաջորդած վերակազմակերպման-անցումային շրջանի տրվում է մեծ մաթեմատիկոս Յակոբիի աշխատանքներում,նվիրված Դեկարտին․

«Կեսգիշերային պատմությունը, ըստ մեր գնահատումների, մոտ մ.թ.ա 1000թ․  է, երբ մարդկությունը կորցրել է արվեստը և գիտությունը և նույնիսկ հիշողությունը: Հեթանոսության վերջին մթնշաղը անցել է, սակայն նոր օր դեռ չի եկել: Եթե ​​ինչ-որ բան մնացել է մշակույթից,ապա թագավորների և  Հռոմի Պապի մոտ, ովքեր ցանկանում էին իմանալ գաղտնիքները, սովորելով իրենց բուհերում ,և այդպես եկավ Արևմուտքի հրաշքը։Վերջապես քրիստոնեական աշխարհը, հոգնեց մահացածների գերեզմանների  նահատակների ոսկորներից  և  հավաքվել էին  Փրկչի գերեզմանին  միայն բացահայտելու , որ գերեզմանը դատարկ է, որ Քրիստոսը հարություն է առել մահացածներից։ Այդ ժամանակ մարդկությունը նույնպես բարձրացավ մահացածներից: Այն վերադարձավ ակտիվ եւ գործարար կյանք:Դա արվեստներիի եւ արհեստների  վերածնունդ է: Քաղաքները ծաղկում են, նոր քաղաքացիներ են հայտնվել: Չիմեբուզը  վերահաստատեց գեղանկարչության անհետացած արվեստը, իսկ Դանթեն՝  պոեզիան: Միևնույն ժամանակ մեծ և անվախ անհատականություններ ինչպիսիք են Աբելյարը եւ Սանկտ Թոմաս Աքվինացին, համարձակվել են մտնել  կաթոլիկության արիստոտելյան տրամաբանության մեջ, և դրանով իսկ հիմք դրել  սխոլաստիկ փիլիսոփայության։ Բայց հետո,երբ Եկեղեցին գրավեց գիտությունը իր ձեռքը, նա պահանջեց,որ անվերապահ հետամուտ լինե նույն  իշխանության հավատին, ինչպես  իր սեփական օրենքները։ Եւ այնպես եղավ, որ սխոլաստիկան է ոչ միայն չազատագրեց մարդկային ոգին, նաև  կապեց նրան հաջորդած դարերում, այնպես որ կասկածի տակ է դրեց գիտական ​​հետազոտության հնարավորությունը: Սակայն մութը վերջապես ճեղքեցին և մարդկությունը, կրկին վստահություն ձեռք բերեց, որոշեց օգտվել իրենց տաղանդներից և ստեղծել հասկացություններ բնության մասին, սկղբնական  անկախ մտքի վրա։ Այս օրվա լուսաբացը պատմության մեջ կոչվում է Վերածնունդ կամ Գիտության Վերածնունդ »:

Մշակութային արժեքների կուտակումն ակնհայտ էր, որ խաչակիրների նպատակը չէր: Բայց հենց դա էլ արեցին: Երեք դարերի ընթացքում քրիստոնյաները փորձեցին  զենքի ուժով իրենց «մշակույը» տարածել մահմեդական աշխարհում :Արդյունքը այն էր,որ արաբների  մշակույթը սկսեց դանդաղորեն, բայց անշուշտ ներթափանցվեց Եվրոպա: Իսպանիայում ապրող արաբները և Լևանտից արաբները նպաստեցին Եվրոպայում գիտության հանդեպ հետաքրքրության վերականգնմանը:Այս գործընթացը սկսվեց Իտալիայում: Մաթեմատիկայի առաջին կարևոր աշխատանքը կատարվել է բացառիկ ունակություններ ունեցող Ֆիբոնաչիի կողմից: Նրա մտորումներն ու կանխատեսումները շատ հեռու էին տասներեքերորդ դարից, երբ նա ապրում էր: Զբաղվելով  առևտրով, նա  շրջագայել է Մերձավոր Արեւելքում  և ընդունել այդ ժամանակաշրջանի արաբերեն գիտելիքները: Նա նաև ծանոթացել է հունական մաթեմատիկական գրականությանը: Նրա ներդրումը հանրահաշվի եւ երկրաչափության համար հիմք հանդիսացավ առաջիկա երեք դարերում Իտալիայում մաթեմատիկայի զարգացման համար: Բայց ես այս մասին խոսելու եմ հաջորդ գլխում:

Վերջին տասնվեցերորդ դարում հանրահաշվի պատմության մեջ շրջադարձային եղավ  ֆրանսիացի  Վիետի աշխատանքը , ով պետք է գրանցվեք լատիներեն անունով Franciscus Vieta: Այսօր նրա մեծ ձեռքբերումը կարծես թե շատ պարզ է: Այդ մասին երևում է նրա հետևյալ  աշխատանքից․

«Մեզ կօգնի նորարարությունը, որը թույլ է տալիս տարբերակել տրված արժեքները անհայտ արժեքներից կամ անհայտների նշանակման համակարգիը, անընդհատի բնույթը հեշտ է հասկանալ նշանակելով,  օրինակ  անհայտ փոփոխականը A-ով կամ այլ ձայնավորներով E, I, O, U , Y, իսկ տրված արժեքները B ,D, G, կամ այլ բաղաձայններով »:

Ձայնավորներով և բաղաձայններով նշանակված այս ձևը երկար չըևեց: Արդեն կես դար անց Վիետի մահից հետո հայտնվեց Դեկարտի երկրաչափությունը , որտեղ այբուբենի առաջին տառերը օգտագործվել էին հայտնի արժեքները, իսկ փոքրատառերը անհայտները նշելու համար: Դեկարտի նշանակման  համակարգը ոչ միայն հեռացվել է, որը առաջարկել էր Վիետը, այլև գոյատևել է մինչև այսօր:

Չնայած առաջադրանքներում գրված էին Վիետի առաջարկներից մի քանիսը,բայց նրանք ընկալվում էին: Վիետի ամենամեծ ձեռքբերումը , որը նշանավոր դեր է խաղացել մաթեմատիկայի զարգացման մեջ, տառային անորոշ նշանակումներն են, բայց անվերջ քանակի նշանակման համար՝  «Logística Speciosa»,որը ինքն է այդպես անվանել:

Դժվար է գնահատել Վիետի ճշմարիտ արժանիքը: Այբբենական նշման համակարգը ի վերջո լավագույն ձևն  է: Կասկած չկա, որ   (a + b)² = a² + 2ab + b² գրառումը ավելի տնտեսված է,բայց դա  չի՞ նշանակում ավելի շատ բան, քան բանաձևի բանավոր ձևակերպումը՝ երկու թվերի  գումարի քառակուսին հավասար է այդ թվերի քառակուսիների գումարին գումարած նրանց կրկնակի արտադրյալը:

Տառային նշանակումների համակարգը տապալեց բոլոր ծայրահեղ հաջողակ նորարարությունների ճակատագիրը: Համընդհանուր օգտագործման պատճառով դժվար է պատկերացնել ժամանակն , երբ ի հայտ գա մեկ այլ գրառման ձև: Այսօր, այն բանաձևը, որոտեղ տառերը նշանակում են ընդհանուր մեծություններ, ընդհունված են որպես  տեքստ: Սիմվոլներով գործելու ունակությունը համարվում է կրթված մարդու բնական որակ: Բայց դա բնական է, քանի որ այն դարձել է մեր մտքի ամենօրյա սովորություն: Վիետի ժամանակաշրջանում նման գրառումը նշանակում է արմատական ​​հեռացում դարավոր ավանդույթներից: Ինչպե՞ս կարող ենք հաշվի առնել այն բնական մեխանիզմը, որից փախչում էր մեծ Դիոֆանտը և նրա  արաբ հետևորդները: Եվ նույնիսկ Ֆիբոնաչին այս հայտնագործության անելու եզրին  հասավ, բայց չարեց:

Զարմանալի նմանություն կա հանրահաշվի և թվաբանության պատմության միջև: Այստեղ մենք տեսնում ենք, թե ինչպես են մարդիկ հազարավոր տարիների ընթացքում պայքարել անհամապատասխան թվային համակարգով, քանի որ զրոյի խորհրդանիշ չկար: Հանրահաշվում ընդհանուր նշանակման համակարգի բացակայությունը  ալգորիթմը վերափոխել է հավասարումների թվային  լուծման համակարգի: Ճիշտ այնպես, ինչպես զրոյի գյուտը թույլ է տալիս ստեղծել ժամանակակից թվաբանություն,  այնպես էլ նշանակման համակարգի հայտնվելը նշվեց նոր դարաշրջանի հանրահաշվի մեջ։Ի՞նչ կարող է ցույց տալ այս համակարգը․

Առաջինը՝ այբբենական գրառումը ազատեց հանրահաշվին բառից կախվածությունից: Եվ ես չեմ նկատում միայն այդ, որ առանց այբբենական գրառումների որևէ հայտարարություն դառնում է պարզապես բառերի  կույտ, որը կարող է լինել երկիմաստ կամ սխալ պատկերացումներ, ինչպես ցանկացած բառեր: Սա իհարկե կարևոր է, բայց ավելի կարևոր է այն,որ այբբենական գրառումը ազատ է այն սահմանափակումներից, որոնք դարերի ընթացքում օգտագործված բառերն ունեին: Դիոֆանտի համար arithmos կամ Ֆիբոնաչիի համար res բառերի նշանակությունը նշանակում է նախորոշված ​​հասացություն։ Սակայն L-ը Վիետի կամ, մեր կարծիքով նշանակում է,որ գոյություն ունի  x անհայտ որոշակի օբեկտի համար, որը նշվում է այս նշանակումով: Սիմվոլը ունի արժեք, որը դուրս է գալիս նշանակված օբյեկտից, դրա համար էլ դա պարզապես ձևականություն չէ:

Երկրորդ տառերի հետ կարելի է կատարել գործողություններ, որոնք թույլ են տալիս փոխարինել  արտահայտությունները , հետևաբար  ցանկացած արտահայտություն ներկայացնել  համարժեք բանաձևերի միջոցով: Փոխակերպումների այս հնարավորությունը բարձրացնում է հանրահաշիվը ավելի բարձր մակարդակի վրա, քան պարզապես գրելու հարմար ձև:

Մինչ այբբենական նշման համակարգի հայտնվելը, կարելի էր միայն խոսել կոնկրետ արտահայտությունների մասին։Յուրաքանչյուր արտահայտություն,ինչպես՝ 2x + 3, 3x — 5, x² + 4x + 7, 3x² — 4x + 5  իր յուրահատկությունն ուներ և նրա համար պետք էր իր մոտեցումը: Այբբենական համակարգը թույլ տվեց մասնավորից անցնել ընդհանուրին  «ինչ-որ» հասկացությունից մինչեւ «ցանկացած» և «բոլորը» հասկացությունների համար: Այժմ գծային արտահայտությունը՝ ax+b, կամ քառակուսային արտահայտությունը՝ ax² + bx + c, համարվում են մեկ տեսակի: Դրա շնորհիվ հնարավոր դարձավ ֆունկցիաների ընդհանուր տեսության առաջացումը, որը  կիրառական մաթեմատիկայի հիմքն է:

Բայց այս մեթոդի ամենակարևոր ներդրումը , որ մեզ ամենից շատն է հետաքրքրում  այս գրքի շրջանակներում ընդհանուր հայեցակարգի ձևավորման մեջ:

Հավասարումների, ինչպիսիք են

I x + 4 = 6     II x + 6 = 4

2x = 8            2x = 5

x² = 9             x² = 7

Կարելի անել այսպիսի հայատարարություն (ինչպես և անում էին շատ միջնադարյան մաթեմատիկոսները),կա հավասարումների երկու խումբ,հավասարումների առաջին խումբը լուծում ունի,իսկ երկրորդը լուծում չունի։

Բայց,եթե հիմա դիտարկում են նույն տիպի հավասարումներ, բայց տառային ներկայացմամբ.

x + b = a

bx = a

x² = b

ապա տվյալների  անորոշությունը մեզ ստիպում է լուծում առաջարկել ընդհանուր ձևով, այսինքն սիմվոլներով.

x = a-b

x = a / b

x = √b

Ահա հանրահաշվի ընդհանուր ատմությունը, կամ ավելի ճիշտ դրա փուլերի, որը հանգեցրել է  թվերի ընդհանուր կառուցվախքի ստեղծմանը։ Այստեղ մենք ավարտում ենք պատմական ճանապարհորդությունը երկու պատճառներով: Առաջին հերթին,Վիետից հետո  մաթեմատիկան սկսում է արագ զարգանալ , այնպես որ մեկ գրքի սահմաններում հնարավոր չէ տեղավորել այն ամենը, ինչ որ արվել է: Բացի այդ այս զարգացումը շատ քիչ ազդեցություն ունեցավ գիտության զարգացման վրա, մինև առաջընթացի սահմանափակումը միայն տեխնիկական մեթոդով:

Ինչո՞վ է տարբերվում ժամանակակից թվաբանությունը Վիետից առաջ գոյություն ունեցող գիտությունից: Փոխվեց վերաբերմունքը «անհնար» հասկացության նկատմամբ: Մինչև տասնյոթերորդ դարը հանրահաշվագետները այս տերմինին տվեցին բացարձակ նշանակություն: Ենթադրելով  բնական թվերը միակ  թվաբանության դաշտ, նրանք տեսան հնարավորություն, կամ սահմանափակ հնարավորություն, որպես գործողությունների բնորոշ սեփականություն։

Այսպիսով նրանք կարծում են, որ հետևյալ թվաբանական գործողությունները ՝ գումարում (a + b), բազմապատկում (ab), աստիճանը  միշտ հնարավոր են,իսկ հակադարձ գործողությունները՝ հանում (a-b), բաժանումը (a / b ) և արմատը (√a) հնարավոր է միայն որոշակի խիստ պայմաններում: Վիետից առաջ մաթեմատիկները հանդիպել են այդ փաստերի, քանի որ խնդրի ավելի մանրակրկիտ վերլուծությունը անհնար էր:

Այսօր մենք գիտենք, որ  հնարավորի և անհնարինության հասկացությունները միայն հարաբերական իմաստ ունեն`  դրանք չեն վերաբերում գործողությունների առանձնահատկություններին, այլ միայն սահմանափակումներին, որ մարդը ավանդաբար պարտադրված է գործել սահմանման տիրույթում: Եթե ​​այդ արգելքը հեռացնեք և ընդլայնենք դաշտը, անհնարը կդառնա հնարավոր :

Ուղիղ թվաբանական գործողությունները միշտ հնարավոր են, քանի որ նրանք ոչ ավելի, քան մեկ հաջորդականությամբ փուլ են անցել, քայլ առ քայլ,  բնական թվերի հաջորդականությամբ , որը հանդիսանում է  անվերջ հաջորդականություն։ Եթե ​​մենք հեռացնենք այս ենթադրությունը և սահմանափակվենք վերջավոր շարքով (օրինակ, առաջին 1000 համարները), այդ գործողությունները, ինչպիսիք են 925 + 125 կամ 67 x 15 հնարավոր չի լինի և համապատասխան  արտահայտությունը կդառնա անիմաստ։

Օրինակ սահմանափակենք դաշտը միայն կենտ թվերով։ Ապա բազմապատկում այնուամենայնիվ հնարավոր կլինի, քանի որ երկու կենտ թվերի արտադրյալը կենտ թիվ է: Սակայն, երբ լրացուցիչ սահմանափակենք դաշտը,ապա գումարման գործողությունը կդառնա ընդհանրապես անհնար, քանի որ ցանկացած երկու կենտ թվերի գումարումը երբեք չի լինի կենտ թիվ:

Բացի այդ, եթե մենք սահմանափակվենք միայն պարզ թվերով, ապա բազմապատկման գործողությունը հնարավոր չէ լինի, քանի որ երկու պարզ թվերի արտադրյալը պարզ թիվ չէ: Գումարման գործողությունը հնարավոր է այն դեպքում,եթե պարզ թվերի տարբերությունը հավասար է 2-ի,օրինակ՝ 2+11=13:

Կարելի է տալ շատ ավելի օրինակներ, բայց նույնիսկ այս  քչերը բավական են ցույց տալու համար նման բառերի հարաբերական բնույթը ,ինչպիսիք են՝  հնարավոր է,  անհնար է և անիմաստ է: Եվ քանի որ հարաբերականությունը հաստատվում է, բնական է հարց տալ. Հնարավո՞ր է այնպես սահմանափակել դաշտը, որպեսզի ուղիղ և հակադարձ թվաբանական գործողությունները միշտ  հնարավոր լինեն:

Հանման համար այս նպատակին հասնելուն , բավական է ավելացնել բնական թվերի հաջորդականությանը ավելացնել զրոն և բացասական ամբողջ թվերը։ Թվերի այսպիսի հավաքածուն կոչվում թվերի դաշտ:

Նմանապես, ժամանակը դրական եւ բացասական խմբակցությունների թվերի է դաշտում միշտ հնարավոր է դարձնում բաժանում գործողությունը:

Այսպիսով ամբողջ դրական , բացասական թվերի ընդլայնումեվ և զրոն էլ միասին կազմեցին ռացիոնալ թվերի դաշտը: Այն փոխարինեց  բնական թվերի դաշտին բնորոշ թվաբանական գործեղությունները։ Չորս հիմնական գործողությունները, որոնք նախկինում կատարվել միայն բնական թվերի համար, այժմ նմանապես ընդլայնվել են ընդհանուր թվերի շարքի համար:

Եվ այսպիսով հակասություններ չկան: Մեկ բացառությամբ, որը մենք կքննարկենք ստորև․

Երկու ռացիոնալ թվերի գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և քանորդը  նույնպես ռացիոնալ թվեր են։ Այս կարևոր փաստ հաճախ ասում են,որ  ռացիոնալ թվերի դաշտը փակ է  չորս հիմնարար թվաբանական գործողությունների նկատմամբ:

Միակ, բայց շատ կարևոր  բացառություն զրոյի վրա բաժանումն է : Սա համապատասխանում է այս լուծմանը հավասարմանը՝ x *0 = a: Եթե ​​մի а≠0, ապա հավասարումը լուծում չունի, քանի որ զերոյի համար սահմանել ենք հետևյալ նույնությունը՝ a * 0 = 0: Հետեւաբար չկա ռացիոնալ թիվ,որը բավարարում է х * 0 = а հավասարմանը։

Եվ հակառակը.  x •0 = 0 հավասարման ցանկացած արժեք բավարարում է: Հետեւաբար x-ը այստեղ անվերջ քանակի է: Որպեսզի լուծենք այսպիսի խնդրները, որոնք հանգեցնում են նման հավասարումների,  մենք պետք է հաշվի առնենք, որ  0/0արտահայտությունը որպես սինվոլ նշանակում է ցանկացած բանական թիվ, իսկ a / 0 -ն,որ  ռացիոնալ թիվ գոյություն չունի:

Չնայած նրան, որ այս փաստարկը կարող է թվալ պահանջկոտ ,բայց նրանք արտահայտում են հետևյալն են լակոնիկ հայտարարությունը՝ եթե a, b և c — ցանկացած ռացիոնալ թվեր են և a = 0, ապա միշտ կա միակ ռացիոնալ թիվ ՝ x ,որը բավարարում է ах + Ь = с հավասարմանը։

Այս հավասարումը կոչվում է գծային, որը ամենապարզ հավասարումն է բոլոր տեսակների հավասարումների մեջ։ Գծային հավասարումներից հետո գալիս են քառակուսի, ապա խորանարդ , չորրորդ, հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ, իսկ ընդհանուր առմամբ ցանկացած աստիճանի հանրահաշվական հավասարումները ունեն ընդհանուր տեսք , որտեղ աստիճանը հասկացվում է  x-ի մեծագույն աստիճանը:

 

СИМВОЛЫ

Трудно отделаться от мысли, что математическим формулам присуща самостоятельная жизнь, что они умнее нас и умнее даже открывшего их, что они дают больше, чем в них было ранее вложено.

Генрих Герц

Алгебра в том широком смысле, который используется в наши дни, это наука об операциях в их символьной записи. Благодаря своей мощности она не только пронизывает насквозь всю мате-матику, но и вторгается в области формальной логики и даже метафизики. Кроме того, если рассматривать алгебру с такой точки зрения, то окажется что эта наука так же стара, как и способ-ность человека оперировать с общими суждениями; как умение различать понятия некоторый и любой.

Здесь нас интересует алгебра в гораздо более узком смысле: та часть общей алгебры, которую очень точно называют теорией уравнений. Этот более узкий смысл вкладывали в слово алгебра в самом начале становления этой науки. Само слово имеет арабское происхождение. «А1» — это арабский определенный артикль (как «the» в английском), «gebar» — устанавливать, восстанавли-вать. До наших дней словом «Algebrista» в Испании называют костоправов (что-то вроде хиропрактиков).

Вероятно, слово алгебра произошло от переделанного названия книги, написанной Мохаммедом бен-Мусса аль-Хорезми, тем самым аль-Хорезми, который, как мы уже видели, внес значительный вклад в развитие позиционного способа записи чисел. Полное название этой книги «Algebar wal Muquabalah (Аль-джебр вал-мукабала)», что дословно переводится как «Восполнение и противопоставление». Словом восстановление бен-Мусса называл то, что сегодня мы называем переносом, т.е. перемещение членов уравнения с одной стороны равенства в другую, например переход от Зx + 7 = 25 к Зх = 25 — 7.

Признаки примитивной алгебры можно найти на глиняных табличках шумеров. Древнеегипетские папирусы говорят нам, чтов Египте эта наука, вероятно, была развита в достаточно высокой степени. В самом деле, папирус Ринда, датируемый не позже XVIII века до н.э., касается проблем распределения еды и других припасов; проблем, которые приводят к простым уравнениям. Неизвестное в этом уравнении обозначается как hau — «много»; операции сложения и вычитания обозначаются ногами человека, идущего к символу операнда или от него. Папирус подписан именем Ахмес. Однако, судя по наличию множества грубых ошибок в тексте, он был простым

переписчиком и мало что понимал из того, что переписывал. Поэтому можно предположить, что уровень знаний древних египтян был выше, чем может показаться на основании этого папируса. Если это так, то нет никаких сомнений в том, что алгебра в Египте появилась *на несколько веков раньше, чем этот папирус.

Как правило, алгебра в своем развитии в каждой отдельной стране последовательно проходила три этапа: риторический, синкопированный и символьный. Первый этап характеризуется полным отсутствием каких-либо символов, за исключением, конечно, того, что сами слова используются в их символическом смысле. Сегодня риторическая алгебра используется, например, в такой формулировке: «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется», что в символьном выражении может быть записано в виде: а + b = b + а.

Синкопированная алгебра, типичным примером которой является египетская алгебра, является дальнейшим развитием риторической. В ней определенные слова, которые часто используются, уже начинают сокращаться. В конце концов эти сокращения доходят до стадии, когда их происхождение уже забывается, так что между символом и операцией, которую он обозначает, уже нет очевидной связи. Сокращение становится символом.

Для примера мы можем рассмотреть историю символов «+» и «-». Последний символ в средневековой Европе долгое время обозначался полным словом minus, потом — первой буквой m черточкой сверху. Наконец, сама буква исчезла и осталась только черточка. Аналогичные превращения произошли и со словом plus. В приведенной таблице читатель может ознакомиться с хронологической историей стандартных символов.

Греческая алгебра до Диофанта была по преимуществу риторической. Существует много объяснений тому, что греки так отставали в создании символов. Одна из наиболее современных теорий заключается в том, что буквы греческого алфавита также обозначали и цифры, и использование тех же самых букв для обозначения величин в общем виде, очевидно, могло бы привести к путанице. На это указывает тот факт, что Диофант воспользовался тем, что в греческом языке звук ζ (сигма) имел два написания: σ и ζ. Первый символ обозначал число 60, а второй не имел численного значения, поэтому Диофант выбрал его для обозначения неизвестного.

Хотя нельзя не отметить, что символ, который Диофант использовал для обозначения неизвестной величины, больше похож на сокращенное написание первого слога в слове arithmos— «число». Этим словом он обозначал неизвестное в задаче. Кроме того, эта теория, кажется, не учитывает тот факт, что только прописные буквы греческого алфавита использовались как числа. Значит, в распоряжении греков оставались еще заглавные буквы, которые они могли использовать и действительно использовали в качестве символов.

Но эти символы никогда не использовались как действующие, а только как метки для обозначения различных точек или элементов на геометрических чертежах. Такие же описательные символы мы используем и сегодня для обозначения разнообразных точек при геометрических построениях, и следует помнить, что мы унаследовали этот обычай от греков.

Нет! Мышление греков было принципиально не алгебраическим; оно было слишком конкретным. Абстрактные алгебраические операции над объектами, преднамеренно оторванными от их физического содержания, не могли прийти на ум тем, кто так активно интересовался самими объектами. Символ — не простая формальность, в нем заключена суть алгебры. Без символа любой объект является ощущением человека и отражает все фазы, через которые проходит восприятие этого объекта человеческими чувствами. Объект, замененный символом, становится абсолютной абстракцией, просто операндом, над которым выполняются определенные действия.

Мышление древних греков только начало преодолевать этот барьер конкретности, когда наступил период упадка. В эти дни заката эллинской культуры можно выделить двух человек. Оба они жили в третьем веке нашей эры, оба происходили из Александрии, оба сеяли семена новых теорий, которые настолько опережали свое время, что не могли быть поняты современниками, но предопределили развитие важнейших наук через несколько столетий. «Поризмы» Паппа

предвосхитили проективную геометрию, а теория Диофанта подготовила почву для современной теории уравнений.

Диофант был первым греческим математиком, который открыто признал, что дроби также являются числами. Он также был первым математиком, который систематизировал решение не только простых уравнений, но также квадратных и уравнений более высокого порядка. Несмотря на неэффективные символы и неэлегантные методы, которыми он пользовался, можно считать, что он подготовил условия для развития современной алгебры.

Но Диофант был последней вспышкой догорающей свечи. На западный мир опустилась долгая ночь средневековья. Семенам эллинской культуры было предопределено дать ростки на чужой почве.

Возможно, индусы переняли из греческой науки некоторые голые факты, но они не переняли критический подход, характерный для греков. Только глупцы глупо и самонадеянно пускаются в рискованное предприятие. Индусам не препятствовали стремления к логической строгости, у них не было и софистов, которые тормозили бы полет творческой фантазии. Они играли с числами и отношениями, с нулем и бесконечностью так же, как и со многими словами: слово sanуа, например, которое обозначало пустоту и в конце концов превратилось в наш ноль, также ис-пользовалось для обозначения неизвестного.

Наивный формализм индусов сделал больше для развития алгебры, чем критическая строгость греков. Их синкопированная алгебра на самом деле была очень характерной. Символы были просто первыми слогами слов, обозначающих объекты или операции. Однако у них были символы не только для фундаментальных операций и равенства, но также и для отрицательных чисел. Более того, они разработали правила преобразования простых и квадратных уравнений.

Задачи, которые они решали, были достаточно простыми и вполне типичными для алгебры такого уровня. Далее приведены две цитаты из «Лилавати» — трактата по общим вопросам теологии, написанного в восьмом веке нашей эры:

«Из груды цветков лотоса одна треть, одна пятая и одна шестая части были принесены в жертву богам соответственно Шиве, Вишну и Солнцу. Одна четвертая часть была преподнесена Бхавани. Оставшиеся шесть цветков отдали многоуважаемому учителю. Ответьте мне быстро, сколько всего было цветков?..»

«Во время любовной игры порвали ожерелье. Треть жемчужин упали на землю, пятая часть осталась на ложе; одна шестая часть жемчуга была найдена девушкой, а одна десятая — ее воз-любленным. На нити осталось шесть жемчужин. Скажите, из скольких жемчужин состояло ожерелье?»

Индийские математики оказали очень слабое влияние непосредственно на Европу. Но нет никаких сомнений в том, что арабы переняли арифметику и алгебру от обладающих знаниями браминов, которых просвещенные халифы так либерально принимали при дворах в девятом и десятом веках. Мусульманская цивилизация в то время была смесью двух культур: восточной и эллинской. Большое количество классических литературных произведений, трудов по науке и философии с санскри’га и греческого были переведены на арабский язык и жадно изучались арабскими

учеными. Многие из этих переводов сохранились, и в наши дни представляют собой уникальный источник исторической информации. В связи с этим следует помнить, что богатейшая библиотека эллинской античности — Александрийская — дважды была разграблена или разрушена. Первый раз — христианскими вандалами в четвертом веке и затем мусульманскими фанатиками в седьмом. В результате такого разрушения большое количество древних манускриптов исчезло и было бы полностью потеряно для потомков, если бы не их арабские переводы.

Часто говорят, что арабской цивилизации было исторически предопределено сохранить эллинскую культуру в переходные века. Она превосходно с этой задачей справилась. Более того, она обогатила сокровища своим собственным блестящим вкладом. Среди множества великих математиков того времени следует упомянуть имя, известное любому культурному человеку: Омар Хайям. Автор четверостиший рубаи был придворным астрономом халифа. Хотя рубаи написаны на персидском языке, Омар Хайям также написал на арабском языке «Алгебру», в которой использовал все преимущества своего знания греческой геометрии и индийской алгебры для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Его также можно считать создателем графических методов решений. Более того, есть основания полагать, что он предугадал открытые Ньютоном формулы бинома.

Несмотря на все это, арабы не продвинулись ни на йоту в символьной записи. Один из самых странных исторических парадоксов в истории математики состоит в том, что арабы переняли индийскую алгебру, но не сохранили их необычную и изящную синкопическую символьную запись. Даже наоборот, они вернулись к риторической алгебре греков и на некоторое время даже исключили символьную запись чисел из своих трактатов по алгебре, полностью отдав предпочтение числам. Возможно, арабы до такой степени считали себя преемниками эллинов, что отвергали знания, приобретению которых были обязаны браминам?

Пока мусульманская культура приближалась к точке своего наивысшего подъема, Европа находилась в глубокой спячке. Замечательная картина этих темных веков и последующего пере-ходного периода приведена великим математиком Якоби в выступлении, посвященном Декарту:

«Полночь истории, по нашим оценкам, приходится примерно на 1000 год до н.э, когда человечество утратило искусства и науки и даже память. Последние сумерки язычества прошли, однако новый день еще не наступил. Если что-то и осталось от культуры во всем мице, то только у сарацин, и Папа Римский, страстно жаждущий учиться, скрывая имя, обучался в их университетах и так стал чудом Запада. Наконец, христианский мир, уставший от молитв мертвым костям мучеников, собрался у могилы Спасителя только для того, чтобы обнаружить, что могила пуста и что Христос воскрес из мертвых. В ту пору и человечество воскресло из мертвых. Оно вернулось к деятельной и деловой жизни; это было лихорадочное возрождение искусств и ремесел. Города рас-цвели, появились новые граждане. Чимабуэ заново открыл угасшее искусство живописи, а Данте — поэзии. Тогда же такие великие и бесстрашные личности, как Абеляр и Святой Фома Аквинский, осмелились ввести в католицизм Аристотелеву логику и таким образом заложили основы схоластической философии. Но после того как Церковь взяла науки под свое крыло, она потребовала, чтобы формы, в которых они развивались, подчинялись бы такой же безусловной вере в авторитет, как и в ее собственные законы. И так случилось, что схоластика не только не освободила человеческий дух, но сковала его на многие последующие столетия, так что сама

возможность свободного научного поиска подвергалась сомнению. Однако дневной свет, наконец, пробился, и человечество, заново обретя уверенность, решило воспользоваться преимуществами своих дарований и создать знание о природе, оснйванное на независимой мысли. Рассвет этого дня в истории называется Ренессансом, или Возрождением Знания».

Накопление культурных ценностей, очевидно, не входило в цели крестоносцев. Однако именно это они сделали. В течение трех веков христиане пытались силой оружия насадить свою «куль-туру» в мусульманском мире. Однако в результате превосходящая культура арабов начала медленно, но верно проникать в Европу. Арабы, живущие в Испании, и арабы из Леванта способствовали возрождению интереса к наукам в Европе.

Начался этот процесс в Италии. Первая значительная работа в математике была выполнена Фибоначчи, человеком выдающихся способностей. Его интуиция и предвидение далеко опережали тринадцатый век, в котором он жил. Купец по роду занятий, он много путешествовал по Ближнему Востоку и перенимал арабские знания этого периода. Он также был хорошо знаком с греческой математической литературой. Его вклад в алгебру и геометрию сформировал основу для развития математики в Италии в течение следующих трех столетий. Но об этом я расскажу в следующей главе.

Поворотным моментом в истории алгебры стала работа, написанная в конце шестнадцатого века французом Виетом, который подписывался на латыни именем Franciscus Vieta. Его великое достижение сегодня нам кажется довольно простым. Оно сформулировано в следующем отрывке из его работы:

«Нам поможет нововведение, которое позволяет отличать заданные величины от неизвестных или искомых посредством буквенной системы обозначений, постоянной по своей сути и простой для понимания, заключающейся, например, в том, чтобы обозначать искомые величины А или другими гласными Е, I, О, U, Y, а заданные величины обозначать В, D, G или другими согласными».

Такой способ обозначения гласными-согласными просуществовал недолго. Уже через полстолетия после смерти Виета появилась геометрия Декарта, в которой первые буквы алфавита использова-лись для обозначения известных величин, а последние — для неизвестных. Система обозначений Декарта не только вытеснила, предложенную Виетом, но и дожила до наших дней.

Хотя немногие предложения Виета воплотились по букве, но они были восприняты по духу. Систематическое использование букв для обозначения неопределенных, но постоянных величин, «Logística Speciosa», как он сам называл это, сыгравшее решающую роль в развитии математики, было величайшим достижением Виета.

Непрофессионалу трудно оценить истинную заслугу Виета. Является ли буквенная система обозначений в конечном итоге лучшем случае? Нет сомнений, что запись вида

(а + Ь)2 = а2+ 2аЬ+ Ь2

является более экономной; но обозначает ли она нечто большее, чем словесная формулировка этого тождества: квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел плюс удвоенное их произведение?

Буквенную систему обозначений постигла судьба всех чрезвычайно удачных новшеств. Из-за ее универсального использования трудно представить себе время, когда в ходу была другая форма записи. Сегодня формула, в которой буквами обозначены общие величины, почти так же обычна, как и простой текст. Наша способность оперировать с символами расценивается как естественное качество образованного человека. Но это естественно только потому, что стало повседневной привычкой нашего разума. Во времена Виета такая запись означала радикальный отход от мно-говековых традиций. Как мы можем считать естественным механизм, который ускользнул от великого Диофанта и его проницательных арабских последователей? И даже гениальный Фибоначчи подошел к самому краю этого открытия, но все же не сделал его!

Есть удивительная аналогия между историей алгебры и арифметики. Там мы видели, как люди тысячи лет боролись с неподходящей системой счисления из-за того, что не было символа для нуля. Здесь отсутствие общей системы обозначений превращало алгебру в бессистемный набор правил для решения числовых уравнений. Точно так же как изобретение нуля позволило создать современную арифметику, так и появление системы буквенных обозначений ознаменовало новую эру в алгебре.

В чем же мощь этой системы обозначений?

Во-первых, буквенная запись освободила алгебру от зависимости от слов. И я имею в виду не только то, что без буквенной записи любое утверждение становится просто потоком слов, которые могут быть двусмысленно или неправильно истолкованы, как и любые слова. Это, конечно, важно; но еще более важно, что буквенная запись свободна от ограничений, которыми связаны веками использовавшиеся слова. Слова arithmos для Диофанта или res для Фибоначчи означали заранее определенное понятие: целое число. Но Л для Виета или, в нашем представлении, х существует независимо от конкретного объекта, который обо-значается этим символом. У символа есть значение, которое выходит за рамки обозначаемого объекта — вот почему это не простая формальность.

Во-вторых, над буквами можно проводить операции, что позволяет преобразовывать буквенные выражения и, следовательно, представлять любое утверждение множеством эквивалентных формул. Эта возможность преобразований поднимает алгебру на более высокий уровень, чем просто удобная форма записи.

До того как появилась буквенная система обозначений, можно было рассуждать только о конкретных выражениях; у каждого выражения, такого как 2х + 3, Зх — 5, х2 + 4х + 7, Зх2 — 4х + 5, была своя особенность, и к нему нужен был свой подход. Буквенная система позволила перейти от частного к общему, от понятия «некоторый» к понятиям «любой» и «все». Линейная форма ах + Ь или квадратичная запись ах1 + Ьх + с — теперь каждая из этих форм рассматривается как один вид. Благодаря этому стало возможным появление общей теории функций, являющейся основой всей прикладной математики.

Но наиболее важный вклад этого метода записи, и именно тот, который больше всего интересует нас в рамках этой книги, заключается в той роли, которую он сыграл при формировании общей концепции числа.

Оперируя с численными уравнениями, такими как

I x+4=6 II x+6=4

2x=8 2x=5

x2=9 x2=7

можно было довольствоваться утверждениями (как и поступали многие средневековые математики), что первая группа уравнений имеет решение, а вторая нет.

Но если теперь человек рассматривает уравнения такого же типа, но в буквенном представлении:

x+b=a

bx=a

xn=b

то полная неопределенность данных заставляет предложить решение в общем виде, то есть в символах:

x=a-b

x=a/b

x=

После этого уже напрасно ставить условия и говорить, что выражение а — Ь имеет смысл только когда а больше Ь; а/Ь бессмысленно, если а не является делителем а; и что не является числом, за исключением тех случаев, кода а равно n-й степени целого числа. Сам факт описания бессмысленности придает ей смысл; не легко отвергать существование чего-то, что уже получило название.

Более того, с оговоркой, что а> b, b является делителем a и a равно n-й степени целого числа, можно определить правила работы с таким выражениями, как а — b, а/b,. Но рано или поздно тот факт, что в самих этих символах нет ничего, что бы указывало на допустимость или недопустимость операций над ними, заставляет предположить, что нет противоречия в том, чтобы выполнять операции над символами как если бы они были настоящими числами. И после этого остается лишь один шаг до признания того, что эти символы и есть числа.

Вот в обших чертах история ранней алгебры или, точнее, той ее фазы, которая привела к общей концепции чисел. Здесь мы закончим исторический экскурс по двум причинам. Прежде всего, после Виета математика начала так стремительно развиваться, что в рамках одной книги нельзя охватить все, что было сделано. Кроме того, это развитие мало влияло на становление науки о числах, до тех пор пока прогресс ограничивался только техникой вычислений.

Что отличает современную арифметику от той науки, которая существовала до Виета? Изменившееся отношение к понятию «невозможно». Вплоть до семнадцатого века алгебраисты придавали этому термину абсолютное значение. Полагая натуральные числа единственной областью всех арифметических операций, они рассматривали возможность, или ограниченную возможность, как свойство, присущее этим операциям.

Таким образом, они считали, что прямые арифметические операции: сложение (а + Ь), умножение (ab), возведение в степень (аь) являются возможными всегда, тогда как обратные операции: вычитание (а — Ь), деление (а/b) и извлечение корня (va) возможны только при определенных жестких условиях. До Виета математики удовлетворялись формулировкой этих фактов, поскольку более тщательный анализ проблемы был невозможен.

Сегодня мы знаем, что понятия как возможности, так и не невозможности имеют только относительный смысл; они относятся не к свойствам операции как таковой, а только к ограничению, которое человек традиционно накладывал на область определения операндов. Если убрать этот барьер и расширить область, то невозможное станет возможным.

Прямые арифметические операции возможны всегда, так как они являются не чем иным, как последовательностью итераций, пошаговым проникновением вглубь последовательности натуральных чисел, которая априори предполагается бесконечной. Если снять это предположение и ограничить поле операндов некоторым конечным набором (например, первыми 1000 числами), то такие операции, как 925 + 125 или 67 х 15 станут невозможными, а соответствующие выражения – бессмысленными.

Или, например, ограничим поле только нечетными числами. Тогда умножение все же будет возможно всегда, поскольку произведение двух любых нечетных чисел является нечетным. Однако при так ограниченном поле сложение станет вообще невозможной операцией, поскольку сумма любых двух нечетных чисел никогда не будет нечетным числом.

Далее, если мы ограничимся только рассмотрением простых чисел, то операция умножения будет невозможной, так как произведение двух простых чисел не будет простым числом. Сложение будет возможно только в тех редких случаях, когда одним из слагаемых является число 2, а другим — меньшее из пары простых чисел, разность между которыми равна 2, например 2 + 11 = 13.

Можно приводить еще много примеров, но даже этих немногих достаточно, чтобы показать относительную природу таких слов, как возможность, невозможность и бессмысленность. И поскольку относительность признана, естественно задать вопрос: можно ли так расширить ограниченное поле, чтобы обратные арифметические операции, так же как и прямые, были всегда возможны?

Чтобы достичь этого по отношению к вычитанию, достаточно добавить к последовательности натуральных чисел ноль и отрицательные целые числа. Такой набор чисел называется полем целых чисел.

Аналогичным образом добавление положительных и отрицательных дробей к полю целых чисел делает всегда возможной операцию деления.

Созданная таким образом совокупность целых чисел и дробей, как положительных, так и отрицательных, вместе с нулем составляет область рациональных чисел. Она вытеснила область натуральных чисел, свойственную целочисленной арифметике. Четыре фундаментальные операции, которые раньше выполня лись только над целыми числами, теперь по аналогии были расширены для обобщенной совокупности чисел.

И при этом не возникает противоречий. Более того, за единственным исключением, которое мы обсудим далее, сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами. Этот очень важный факт часто формулируют следующим образом: область рациональных чисел является замкнутой по отношению к четырем фундаментальным операциям арифметики.

Единственным, но очень важным исключением является деление на ноль. Это соответствует решению уравнения х * 0 = а. Если а 0, то уравнение неразрешимо, так как при определении нуля мы были вынуждены принять следующее тождество: а * 0 = 0. Следовательно, не существует рационального числа, удовлетворяющего уравнению х * 0 = а.

Наоборот, уравнению х • 0 = 0 удовлетворяет любое рациональное значение. Следовательно, х здесь — неопределенная величина. Чтобы при решении задач, приводящих к таким уравнениям, получать дополнительную информацию, мы должны рассматривать выражение 0/0 как символ любого рационального числа, а выражение а/0 как символ того, что рациональное число не существует.

Хотя эти рассуждения могут показаться слишком скрупулезными, выраженные в символах они сводятся к следующему лаконичному утверждению: если а, Ь и с — любые рациональные числа и а ф 0, то всегда существует единственное рациональное число х, удовлетворяющее уравнению

ах + Ь = с.

Это уравнение называется линейным, и оно является самым простым из множества типов уравнений. После линейных уравнений идут квадратные, затем кубические, уравнения четвертой, пятой степени и вообще алгебраические уравнения любой степени в общем виде, где под степенью понимается наибольшая степень, в которую возводится неизвестная величина х.

Реклама

Աշխատակարգ հուլիսի 2-ից 5-ը

Posted on Updated on

Աշխատակարգ

9։00-10։00՝ պարտիզա-պուրակային աշխատանք/Մայր դպրոցում
10։10-10։30՝ հեծանվավարություն 
10։40-11։20՝ ինքնակրթություն,հունից ամսվա ամփոփում
11։30-12։00՝ երաժշտություն, պար
12։10-12։40՝ ընդմիջում
12։40-13։10՝ մաթեմատիկական ֆլեշմոբ/«Մուտք կրթահամալիր» ճամբարի համար
13։20-14։00՝ շախմատ
14։00-14։40՝ տեխնոլոգիական աշխատանք

Ծրագրավորողների ակումբ

Posted on Updated on

40658615_m  Ծրագրավորումն արվեստի և ճարտարագիտության հիասքանչ համադրությունն է։ Բացի ամենաստեղծարար մասնագիտություններից մեկը լինելը, աշխարհում շատ քիչ մասնագիտություններ կան, որոնց դեպքում հնարավոր է ավելի շատ վաստակել, քան ծրագրավորումը։

Բիլ Գեյթս

Նախագծի նպատակը՝

 

  • Տիրապետել ծրագրավորման լեզուների

Խնդիրները՝

  • Նպաստել ծրագրավորման հոլդինգի զարգացմանը և սկսնակ գաղափարների իրականացմանը։
  • Զարգացնել ալգորիթմական մտածողությունը
  •  Ձևավորել մաթեմատիկական խումբ միջին և ավագ դպրոցի սովորողներից, ովքեր կզբաղվեն մաթեմատիկական խդիրների լուծումները ծրագրավորելուց՝ սկսած թվերի հետ գործողություններից, հավասարումների և անհավասարումների լուծունմերից, ավարտած տարրական ֆունկցիաների ուսումնասիրությամբ և գրաֆիկական պատկերմամբ։

Առաջարկվող դասընթացները՝

  •  <<Scratch>> ծրագիրը կրտսեր և միջին դպրոցի սովորողների համար, որը կանցկացնեն հոլդինգի սովորողները։
  • HTML, PHP, Java, Javascript ծրագրավորման լեզունները, որը կանցկացնեն ոլորտում փորձ ունեցող ծրագրավորողներ։

Դասընթացից ակնկալվող արդյունքները՝

  • Հասկանալ ցանկացած ծրագրավորման լեզվի հիմունքներ
  • Գրել conditional statement-ներ
  • Գրել  array-ներ
  • Տարբերակել System Data Types
  • Գրել և հասկանալ պարզ կոդեր
  • Գրել և կարողանալ  կիրառել ֆունկցիաներ
  • Գրել class-ներ և օգտագերծել
  • Հասկանալ  OOP-ին։

Դասընթացի օրեր՝   երկուշաբթի, հինգշաբթի (փոփոխվող)

 Դասընթացի տևողություն՝  4 ամիս

Դասընթացի ժամեր՝  15.00-ից

Դասընթացի սկիզբ՝  երկուշաբթի, սեպտեմբերի 3

Վճարող՝ Ծնող, անհատ,կրթահամալիր

Ինչպե՞ս դիմել

Ցանկացողները մինչ սեպտեմբերի 1-ը պետք է լրացնեն  հայտադիմումը։ Հարցերի դեպքում կարող եք զանգահարել (077 )67 24 68 հեռախոսահամարով կամ գրել՝ menua.harutyunyan@mskh.am  էլեկտրոնային  հասցեին։

 

 

 

 

Մանկավարժական հունիսյան ճամբար

Posted on Updated on

Հունիսի 22

9։00-9։30՝ մուտք դպրոց. միջավայրի խնամք, պատրաստություն

9։30-10։20՝ ազգարական երաժշտական պարապմունք դպրոցներում. հարսանեկան ուրախություն  Միջին դպրոցում։

10։30-11։20՝

բաց համայնքի զարգացում. տեխնոլոգիական՝ պարտիզապուրակային-շրջակա միջավայրի զարգացման, ծիսական նախագծեր դպրոցներում. ծեսի պարապմունքների տեսադասերի ստեղծում, ընդմիջման նախապատրաստում։

11։20-11։50՝ ընդմիջում դպրոցներում

12։00-14։00՝ ուսումնական պարապմունքներ Միջին դպրոցում

Մաթեմատիկա-բնագիտական առարկաներ դասավանդողների
Տիգրան Սերոբյան, Միջին դպրոց, Մենուա Հարությունյանի կաբինետ
Նազելի Տեր-Պետրոսյան, Միջին դպրոց, Երանուհի Խլղաթյանի կաբինետ
Վահե Սարգսյան, Միջին դպրոց, Աշոտ Տիգրանյանի կաբինետ

14։00՝

Մանկավարժական ընդհանուր պարապմունք. մարմարյա սրահ
Երաժշտություն-պար
Ճամբարը ոչ սեբաստացի մասնակիցների ներկայացմամբ. առաջարկներ

14։30-ից՝ մեդիահմտությունների պարապմունք. բլոգային-նախագծային ուսուցում։

Հունիսի 21

9։00-9։30՝ մուտք դպրոց. միջավայրի խնամք, պատրաստություն

9։30-10։20՝ ազգարական երաժշտական պարապմունք դպրոցներում. հարսանեկան ուրախություն  Միջին դպրոցում։

10։30-11։20՝

բաց համայնքի զարգացում. տեխնոլոգիական՝ պարտիզապուրակային-շրջակա միջավայրի զարգացման, ծիսական նախագծեր դպրոցներում. ծեսի պարապմունքների տեսադասերի ստեղծում, ընդմիջման նախապատրաստում։

11։20-11։50՝ ընդմիջում դպրոցներում

12։00-14։00՝ ուսումնական պարապմունքներ Միջին դպրոցում

Մաթեմատիկա-բնագիտական առարկաներ դասավանդողների
Տիգրան Սերոբյան, Միջին դպրոց, Մենուա Հարությունյանի կաբինետ
Նազելի Տեր-Պետրոսյան, Միջին դպրոց, Երանուհի Խլղաթյանի կաբինետ
Վահե Սարգսյան, Միջին դպրոց, Աշոտ Տիգրանյանի կաբինետ

14։00՝ -ից՝ Մարզական պարապմունքներ։

Հունիսի 20

9։00-9։30՝ մուտք դպրոց. միջավայրի խնամք, պատրաստություն

9։30-10։20՝ ազգարական երաժշտական պարապմունք դպրոցներում. հարսանեկան ուրախություն  Միջին դպրոցում։

10։30-11։20՝

բաց համայնքի զարգացում. տեխնոլոգիական՝ պարտիզապուրակային-շրջակա միջավայրի զարգացման, ծիսական նախագծեր դպրոցներում. ծեսի պարապմունքների տեսադասերի ստեղծում, ընդմիջման նախապատրաստում։

11։20-11։50՝ ընդմիջում դպրոցներում

12։00-14։00՝ ուսումնական պարապմունքներ Միջին դպրոցում

Մաթեմատիկա-բնագիտական առարկաներ դասավանդողների
Տիգրան Սերոբյան, Միջին դպրոց, Մենուա Հարությունյանի կաբինետ
Նազելի Տեր-Պետրոսյան, Միջին դպրոց, Երանուհի Խլղաթյանի կաբինետ
Վահե Սարգսյան, Միջին դպրոց, Աշոտ Տիգրանյանի կաբինետ

14։00՝

Մանկավարժական ընդհանուր պարապմունք. մարմարյա սրահ
Երաժշտություն-պար
Ճամբարը ոչ սեբաստացի մասնակիցների ներկայացմամբ. առաջարկներ

14։30-ից՝ մեդիահմտությունների պարապմունք. բլոգային-նախագծային ուսուցում։

 

Հունիսի 19

9։00-9։30՝ մուտք դպրոց. միջավայրի խնամք, պատրաստություն

9։30-10։20՝ ազգարական երաժշտական պարապմունք դպրոցներում. հարսանեկան ուրախություն  Միջին դպրոցում։

10։30-11։20՝

բաց համայնքի զարգացում. տեխնոլոգիական՝ պարտիզապուրակային-շրջակա միջավայրի զարգացման, ծիսական նախագծեր դպրոցներում. ծեսի պարապմունքների տեսադասերի ստեղծում, ընդմիջման նախապատրաստում։

11։20-11։50՝ ընդմիջում դպրոցներում

12։00-14։00՝ ուսումնական պարապմունքներ Միջին դպրոցում

Մաթեմատիկա-բնագիտական առարկաներ դասավանդողների
Տիգրան Սերոբյան, Միջին դպրոց, Մենուա Հարությունյանի կաբինետ
Նազելի Տեր-Պետրոսյան, Միջին դպրոց, Երանուհի Խլղաթյանի կաբինետ
Վահե Սարգսյան, Միջին դպրոց, Աշոտ Տիգրանյանի կաբինետ

14։00՝

Մանկավարժական ընդհանուր պարապմունք. մարմարյա սրահ
Երաժշտություն-պար
Ճամբարը ոչ սեբաստացի մասնակիցների ներկայացմամբ. առաջարկներ

14։30-ից՝ մեդիահմտությունների պարապմունք. բլոգային-նախագծային ուսուցում։

Հունիսի 18

9։00-10։00՝ ազգարական երաժշտական պարապմունք դպրոցներում. հարսանեկան ուրախություն՝ «տիկնի պսակ»  Միջին դպրոցում։

10։00-11։00՝

բաց համայնքի զարգացում. տեխնոլոգիական՝ պարտիզապուրակային-շրջակա միջավայրի զարգացման, ծիսական նախագծեր դպրոցներում. ծեսի պարապմունքների տեսադասերի ստեղծում, ընդմիջման նախապատրաստում։

11։00-11։30՝ ընդմիջում դպրոցներում

12։00-14։00՝ ուսումնական պարապմունքներ Միջին դպրոցում

14։00-14։30՝ մանկավարժական ընդհանուր պարապմունք. ծրագրում

  • քննարկում. հեղինակային կրթական ծրագրով ստուգումների-քննությունների կազմակերպումը։

14։30-ից՝

  • Մարզական պարապմունքներ

 

 

 

Ամառային առաջադրանքներ

Posted on

6-րդ դասարանցիների համար

Լուծում եք հետևյալ խնդրագրքից.

Խնդիրներ մասերի և տոկոսների վերաբերյալ  —  1-ից 19-ը առաջադրանքները ներառյալ,էջ 12:

Շարժման խնդիրներ  — 3,4,6  առաջադրանքները,էջ 24:

Խնդրներ լուծույթի վերաբերյալ —  էջ 86:Լուծում եք, ըստ ընտրության, հինգ հատ խնդիր, կազմում սեփական օրինակը և հրապարակում բլոգում:

Խնդրներ համաձուլվածքի վերաբերյալ — էջ 70:Լուծում եք, ըստ ընտրության, հինգ հատ խնդիր ,կազմում սեփական օրինակը  և հրապարակում բլոգում:

Խնդրներ համատեղ աշխատանքի վերաբերյալ — էջ 95:Լուծում եք, ըստ ընտրության, հինգ հատ խնդիր , կազմում սեփական օրինակը և հրապարակում բլոգում:

7-րդ դասարանցիների համար

  • Կարող եք լուծել վերը նշված խնդիրները

Կրկնողության համար լուծում եք հետևյալ խնդրագրքից.

  • Բազմանդամների հետ գործղություններ-էջ 6,առաջադրանք 6,7,8:
  • Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը-էջ 7-ից,առաջադրանք 9,14,
  • Բազմանդամների վերլուծումը արտադրիչների-էջ 12-ից 16,առաջադրանք 19,21,22,23,24,25:

Յուրաքանչյուր վարժությունից կատարում եք առնվազն հինգ օրինակ:

  • Հանրահաշիվ 7 դասագրքից  կրկնում եք ՛՛ֆունկցիա՛՛ բաժնի խնդիրները:
  • Բերում եք գծային ֆունկցիայի , ուղիղ և հակադարձ համեմատական ֆունկցիանների սեփական  օրինակները,գծում գրաֆիկները և տեղադրում բլոգներում:
  • Երկրաչափությունից կրկնում եք ձեր անցած թեմաները,ընտրում տաս խնդիր և լուծում,լուծումը ներկայացնում եք GeoGebra ծրագրով:

Ամառային ճամբարի ամփոփում

Posted on Updated on

Ամառային ճամբարը սկսեցի իմ ջոկատի հետ տարբեր տրամաբանական խնդիրներ կազմելով,ֆլեշմոբների տեսքով։

Ճամբարի ընթացքում ճամբարականները մասնակցեցին լողի,վարեցին հեծանիվ ,խաղացին տարբեր բակային և ինտելեկտուալ խաղեր։      Ճամբարականները կրկնեցին իրենց անցած մաթեմատիկական թեմաները,կազմեցին և լուծեցին խնդիրներ։

Ճամբարը ուղեկցվում էր նաև պարտիզապուրակային աշխատանքով։

Երկրորդ շաբաթվա ընթացքում չափեցինք և հաշվեցինք Մայր դպրոցի ճիմապատ տարածքի մակերեսը և հնձված խոտի չափը։

Իսկ ճամբարը ավարտեցինք բակային խաղերով և խոհանոցային աշխատանքով։

Ստորև ներկայացնում եմ ջոկատի մասնակիցների պատումներից․

Մարիա Ավետիսյան

Աննա Հարությունյան

Արմեն Մարտիրոսյան

Գոռ Կնյազյան

Բադեյան Աշոտ

Հակոբյան Նարեկ

Նունե Հովհաննիսյան

Սերգեյ Ալեքսանյան

 

Մայիսյան հաշվետվություն

Posted on

6-րդ դասարան

Ավարտել ենք նախագիծ 7-ը։Կատարել ենք ամփոփում։

Մայիսյան հավաքին ներկայացրել ենք հետևյալ նախագծերը։

7-րդ դասարան

Երկրաչափությունը՝ կատարել ենք ամփոփում ինքնաստուգումների տեսքով։

Հանրահաշիվը՝ ներմուծել ենք ֆունկցիայի գաղափարը և խնդիրներ լուծել օգտվելով  ֆունկցիայի պարզագույն օրինակներից (գծային ֆունկցիա,ուղիղ և հակադարձ համեմատական ֆունկցիաներ)։